數學學習之我見爲題目的總結
[摘要] 本文以《高等幾何》課程學習爲例淺談作者數學學習過程中概念的學習及課堂上、課後的學習複習經驗和學數學過程中自信與興趣的培養。
緒言：
數學是具有嚴謹邏輯的高度抽象概括的理論。它的學習與文科的學習不同，是數學思維活動的學習。①這個思維活動的學習過程很艱苦，但在《高等幾何》這門課程的學習中，我悟出了一些學習數學的小竅門，可以把這個艱苦的過程轉化爲一種的樂趣，現在寫出來同大家一起分享。
一、數學概念巧記憶
“概念形成主要依賴的是對感性材料的抽象，概念同化主要依靠的是對知識經驗的概括。”②這就是說，要掌握概念就是要充分抽象感性材料和概括知識經驗。在學到交比那一節時，發現（P1P2,P3P4）=(λ1-λ3) (λ2-λ4)/（λ2-λ3）（λ1-λ4）等式右邊不太好記，這時抽象的看一下，原來只記住式子裏λ的下標就可以把式子寫出來了，所以一個小口訣“1324，2314”就完全搞定了原來讓人覺得頭疼的公式。於是，我在學到“簡單矩形六點形的對邊”時如法炮製：因爲簡單六點形的對邊分別爲A1A2與A4A5、A2A3與A5A6、A3A4與A6A1。這麼一長串的對邊變成了“1245，2356，3461”後同樣也多念兩遍，這個概念的記憶就顯得很輕鬆了。
可是，大多數的數學定理並不像公式那麼整齊，不能編小口訣，那怎麼辦呢？其實也很簡單，把同一類型的題型理出來一個個攻下來後，那些概念自然就爛熟於心了。例如在剛學到Desargues定理時，我覺得定理很繞口，於是我就先看後面的“應用舉例”。發現例1.14，例1.15與習題1，6，7都是同一類型的，特別是習題6，幾乎就是例1.15的一個翻版。套用定理做完這幾題後我就歸納出了用Desargues定理證明共點線和共線點的方法，就是找對應頂點連線或對應邊交點的問題，而圖上一般只有10個點，去掉一個點後就只剩了9個，也就是透視軸加兩個三角形了。這樣一看，Desargues定理就在運用中活學活記在了腦海裏，也不覺得繞口了。實踐出真知，數學學習看來的確需要多做題纔能有所領悟。
二、課堂主動效率高
“早起的鳥兒才能抓到蟲子吃。”有預習習慣的人會比沒有的人學得輕鬆的多。但不是每個人每堂課前都能預習的，很多時候我們沒有那麼多時間。那麼，課前沒有預習該怎樣去儘量聽好課、提高課堂效率呢？坦白說，我的預習習慣不是太好，因爲時常會沒有時間，或者對自己比較有自信。我一直都覺得上課效率決定一切。上課時保持比老師快一步的節奏聽課是我最喜歡的，因爲那樣相當輕鬆。比如在學定理2.12 “Poncelet定義<=>Steiner定義”時定理證明有一整頁，我就在老師還沒講到定理證明時就把證明過程看一遍，這樣在老師講到定理證明時我就有充裕的時間邊聽邊看後面一頁的內容。在證明過程的後一頁提到“定理2.12的證明過程爲我們提供了一個作圖方法，稱爲Steiner作圖法”。考慮到作圖是幾何學習的重要部分，我就把定理的證明過程中的那張圖仔細研究一遍，再在自己的草稿紙上畫一遍確保完全領悟（上圖）。這樣，我就相當於把這個作圖法學了兩遍，效果自然不比預習差。而在之後的學習中，就更證明我判斷的準確性。因爲習題2.4的第8小題，用的正是 Steiner作圖法。而正因爲我剛纔的積極主動，這題就能很容易地解出來了。相反，如果我沒有那樣做，那我的處境就會相當的被動，很可能只聽懂了證明過程卻不想到如何運用它。當然，這只是我個人的一些經驗，它並不一定適合於每個人，但我覺得無論是誰，無論學什麼，都是應該主動的，態度決定一切。
三、歸納總結消化透
數學學習十分重視循序漸進原則，強調打好基礎，踏踏實實前進。“學習必須踏實，不能踏空一步。踏空一步，就要付出重補的代價；踏空多步，補不勝補，就會使人上不去，就會完全泄氣。”數學學習“只有經過消化、提煉的過程，基礎纔算是鞏固了”，“有了這個基礎，以後的學習就可以大大加快。”③前者說出了一些數學學習弱勢羣體形成的原因，而後者說明了優勢羣體中每個個體學習的成功之處所在。這也說明了數學學習貫徹循序漸進原則的重要性，堅持三天一小理，五天一大理，每上完一次課就整理筆記，每過一段時間把學過的東西整理一下，前後的知識要融會貫通，在複習中溫故知新，同時也爲自己整理出比較清晰的知識框架，從而避免了在考試前臨時抱佛腳的尷尬。例如證明共點線和共線點的問題，除了第一章的Desargues定理可以用來證明，第二章的成透視對應的點列或線束，第四章的Pascal定理和Brianchon定理都可以用來證明。串聯起來複習效果會更好。又如第四章第五節的二次點列上的射影變換時，可以參照第二章第三節的一維基本形的射影對應，它們有很多相似的地方，很值得對比鞏固。歸納總結知識以後，印象會更深刻，掌握會更牢固。
四、創新質疑增自信
學數學是需要有興趣的，也是需要有自信的。做數學習題時可以嘗試用第二種、第三種方法解題，經過一番琢磨後，如果能研究出一種比老師或同學更簡單的方法，那是會大大增加自信的。例如：求兩直線l1:x1+x2-2x3=0和l2:x1+x3=0的交點關於二次曲線3x12+2x1x2+3x22-16x2x3+23x32=0極線方程④
解：已知二次曲線方程各項係數爲：a11=3,a12=1,a13=0,a22=3,a23= -8,a33=23。
經解聯立方程求得兩直線l1,l2的交點爲P(-1,3,1)，故它的極線方程爲
[3*（-1）+1*3+0*1]x1+[1*（-1）+3*3+(-8)*1]x2+[0*(-1)+(-8)*3+23*1]x3=0
即x3=0
這是一種方法，而由配極原則可以求出在線l1和l2的極點，兩極點的連線就是所求的極線。平時閒下來除了可以研究這些解題方法消遣，還可以在教材、題目中找找有沒有地方出錯。例如：《高等幾何》書第20頁例1.6的證明過程中，倒數第二行（np - mp）α+（lq - nq’）β+（nr - lr）ν=0中ν的係數應該是(mr – lr)，這純粹是印刷錯誤，但發現這個也會讓人有不少的成就感哦！教材中還有一些印刷錯誤就不一一例舉了。總之，學習的樂趣是要自己去尋找的，想方設法尋找數學的快樂，自然而然學習就變得快樂起來了。
結論：
數學學習是需要付出的，特別是需要適合於自己的方法。數學學習也是需要興趣的。有研究表明，數學學習需要興趣的程度是僅次於外語的。沒有足夠的興趣，學習將是被動和枯燥的。有興趣的學習才能掌握學習的主動權，但如果純粹爲了興趣，而沒有足夠的耐心的話，一旦碰到特別困難的問題就可能會逐漸的失去興趣，變主動爲被動。⑤所以數學學習優秀的同學往往善於調節自己的心理，發揮心理能量。數學的學習也是需要不斷的肯定自己、鼓勵自己的。在遇到困難時可以告訴自己：“這是使我變得更聰明的必須跨越的一道坎！”在覺得簡單時，就該警醒一下自己：“別放鬆，否則也許會失去本屬於自己的成功！”就這樣，困難解決了，還積累了不少自信。勝不驕，敗不餒，不緊不慢，踏踏實實夯實基礎，勇敢、仔細地去學數學，漸漸的就會發現自己的思路變得越來越清晰，思維越來越靈活，做事情也變得更有條理了。這時學習伴隨着成功的喜悅，就像坐上了順風船，在興趣和自信推動下，顯然這時的自己會更加專注於學習，產生良性循環，還會在這個過程中發掘出自己更多的內在潛力，自然也就不愁數學學習苦了。