形式邏輯的死穴：無窮問題

辯論是需要以思維帶動語言的，思維是要遵循一定邏輯規律的，哲學就是研究這種規律性問題的學科，系統的理論的邏輯關係是指導辯論活動的基本內容。今天本站小編給大家分享一些辯論中形式邏輯的死穴，希望對大家有所幫助。

形式邏輯的死穴：無窮問題

1.芝諾悖論

跑得最快的阿基里斯永遠追不上爬得最慢的烏龜。大意是說甲跑的速度遠大於乙，但乙比甲先行一段距離，甲爲了趕上乙，須超過乙開始的A點，但甲到了A點，則乙已進到A1點，而當甲再到A1點，則乙又進到A2點，依次類推，直到無窮，兩者距離雖越來越近，但甲永遠在乙後面而追不上乙。古希臘的理性傳統促生了柏拉圖和亞里士多德這樣的偉大的思想家，但芝諾悖論卻讓古希臘理性傳統受到了致命的挑戰，芝諾使得世人只能陷入這樣的猶豫：邏輯，還是事實，這是個問題!

2.根號2悖論

畢達哥拉斯學派，這個曾今顯赫一時的融數學、哲學、宗教於一體學派結果卻是被一個名字叫作“根號2”的東西終結了。他們在做幾何測量的時候發現一個問題：當等腰直角三角形的直角邊等於1的時候，那麼斜邊是多少?絞盡腦汁推理計算也無法算出這個數來，但事實上這個由直角邊爲1的等腰直角三角形的斜邊的存在是不可否認的。這個問題讓迷信數字的畢達哥拉斯學派陷入了恐慌，爲了保證學派的信仰的尊嚴，他們於是封鎖消息，禁止成員向外泄露，據說一個泄露了這個祕密的人被無情地拋進了大海。在我們今天看來，其實很好解釋，把畢達哥拉斯學派送上歸路的其實正是無窮問題。

3.休謨悖論

我們看到的天鵝都是白的，能否得到結論：所有的天鵝都是白的?太陽從來都是從東方升起，我們能否肯定明天太陽一定從東方升起?休謨認爲，不能。我們所得到的結論只能在我們的經驗範圍內有效，超出了我們的經驗，我們完全不敢保證。休謨從經驗主義原則出發得到了這樣的結論：由培根所開創的歸納法並沒有充足的理由得到任何全稱命題。歸納法破產了，經驗主義破產，歸納法和經驗主義爲什麼會破產，就是因爲它們遭遇了無限的問題。

4.貝克萊悖論

十七世紀後期，牛頓、萊布尼茲創立微積分學，成爲解決衆多問題的重要而有力的工具，並在實際應用中獲得了巨大成功，然而，微積分學產生伊始就遭到了懷疑，原因在於當時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小後來證明是包含邏輯矛盾的。1734年，大主教貝克萊寫了本《分析學家》的小冊子，在這本小冊子中，他十分有效地揭示了無窮小分析方法中所包含的這種邏輯矛盾。這就是所謂的“貝克萊悖論”。籠統地說，貝克萊悖論可以表述爲“無窮小量究竟是否爲零的問題”就實際應用而言，它必須既是零，又不是零。而從形式邏輯角度而言，這無疑是一個矛盾。貝克萊悖論，動搖了人們對微積分正確性的信念，在當時數學界引起了一定混亂，從而導致了數學史上所謂的第二次數學危機。微積分產生後，一方面在應用中大獲成功，另一方面其自身卻存在着邏輯矛盾，即貝克萊悖論，也就是說，正確的(尤其是在幾何應用上是驚人的)結果卻是通過肯定不正確的數學途徑得出的。這把數學家們推到了尷尬境地。

5.傅立葉悖論

微積分產生之初，對基礎不牢的指責，以及由此引發的爭論，一直就是微積分學奏出的光輝樂章中的不諧和音。然而在十八世紀，它被微積分應用中驚人的成功所贏得的震耳掌聲暫時掩蓋了。經過數學發明的十八世紀後，數學建築擴大了，房子蓋得更高了，而基礎卻沒有補充適當的強度。十八世紀粗糙的，不嚴密的工作導致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了數學家們的神經。

6.柯西與康托爾的努力

柯西於1820xx年研究了極限定義，並創造性地用極限理論把微積分學中的定理加以嚴格的系統的證明，使微積分學有了較堅實的理論基礎，同時柯西也因之成爲加固微積分學基礎的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在着兩點主要的不足。其一，他的極限定義用了描述性語言“無限的趨近”“隨意小”，不夠精確。這一點由德國數學家魏爾斯特拉斯給出精確描述數列極限的“ε-δ ”方法和函數極限的“ε-δ”方法，把微積分奠基於算術概念的基礎上，獲得了圓滿解決。其二，他對單調有界定理的證明藉助了幾何直覺。魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結爲實數理論，並於七十年代各自建立了自己完整的實數體系，這樣數學分析的無矛盾性問題歸納爲實數論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。

康托爾以其集合論的成就被譽爲對20世紀數學發展影響最深的學者之一。他從研究“收斂的傅立葉級數所表示的函數存在不連續”這一事實，提出無窮集合的概念，並以一一對應關係爲基本原則，尋求無窮集合的“多少”關係。他把兩個能一一對應的集合稱爲同勢，利用勢他將無限集進行了分類，最小的無限集爲可數集a，即指與自然數集等勢的無窮集。進一步，康托爾證明實數集的勢c>a，一切實函數的勢f>c,並且對任何一個集合，均可造出一個具有更大勢的集合，即是說沒有最大的勢。鑑於此，1896年康托爾根據無窮性有無窮多學說，制訂了無限大算術，對各種無窮大建立了一個完整序列，他用希伯來字母表中第一個字母阿列夫來表示這些數。於是， 直至無窮。無窮集合自身又構成了一個無窮序列。這就是康托爾創立了超限數理論。康托爾的工作，在發表之初遭到許多人的嘲笑與攻擊。克羅內克有句名言：上帝創造了自然數，其它都是人爲的。他完全否認並攻擊康托爾的工作，稱“康托爾走進了超限數的地獄”，更有人嘲笑康托爾關於無窮的等級的超限數理論純粹爲“霧中之霧”。前後經過20餘年，康託的工作才最終獲世界公認，並贏得極大讚譽。羅素稱讚說：“Cantor的工作可能是這個時代所能誇耀的最偉大的成就。”希爾伯特稱其超限理論爲“數學思想的最驚人的產物，在純粹理性的範疇中人類智力的最美的表現之一。”康託集合論的提出標誌了近代數學的開端。他的觀點中，無窮集合是被看作一個現實的，完成的，存在着的整體，是可認識，可抓住的東西。

7.羅素悖論

“集合論是有漏洞的!”正當數學家們在無窮集合的伊甸園中優哉遊哉，並陶醉於數學絕對嚴格性的時候，一個驚人的消息迅速傳遍了數學界，這就是1920xx年羅素提出的羅素悖論。

危機正是由康托爾研究的無限集合引發的。羅素構造了一個集合U，U由所有不屬於自身的集合組成，U顯然存在，但U是否屬於自身呢?無論回答是否都將導致矛盾，這就是著名的羅素悖論。羅素悖論相當簡明，以致幾乎沒有什麼可以辯駁的餘地動搖了整個數學大廈的基石：集合論。“絕對嚴密”“天衣無縫”的數學，又一次陷入了自相矛盾與巨大裂縫的危機之中。

危機產生後，包括羅素本人在內的衆多數學家投入到解決危機的工作中去。1920xx年，策梅羅提出公理化集合論，後經改進形成無矛盾的集合論公理系統，簡稱ZF公理系統，使原本直觀的集合概念建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了羅素悖論的產生，在表層上解決了第三次數學危機。

8.實無限與潛無限

認真考察無窮在數學中的發展歷程，可以注意到在數學無窮思想中一直存在着兩種觀念：實無限思想與潛無限思想。所謂潛無限思想是指：“把無限看作永遠在延伸着的，一種變化着成長着被不斷產生出來的東西來解釋。它永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在。把無限看作爲永遠在延伸着的(即不斷在創造着的永遠完成不了的)過程。所謂實無限思想是指：把無限的整體本身作爲一個現成的單位，是已經構造完成了的東西，換言之，即是把無限對象看成爲可以自我完成的過程或無窮整體。數學中無限的歷史實際上是兩者在數學中合理性的歷史。 在數學無窮髮展歷程中，我們已經看到征服無窮的路途中，悖論是一次次出現：芝諾悖論、貝克萊悖論、羅素悖論的出現即爲例證。雖說，歷經幾百年，數代數學家的艱苦努力，建立的極限論、實數論、ZF公理系統解決了這些悖論及由此導致的危機。然而悖論的的清除，矛盾的迴避也導致了數學確定性的一步步喪失。第三次數學危機只是於表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續着。希爾伯特曾企圖用形式主義“一勞永逸地消除任何對數學基礎可靠性的懷疑。”然而其一攬子解決方案在1930年哥德爾發現不完備定理後宣告付之東流了。哥德爾的工作使人們對無窮的認識又上升了一個層次。人們開始更深刻地明白：任何想一勞永逸解決無窮問題的努力是烏托邦式工作不可能成功。認識無窮、征服無窮之途本身就是個極限過程。